/О детях/Школа/Репетитор для мамы

Диофантовы уравнения

Как решать задачи подбором, перебором чисел, и как решать задачи при помощи алгоритма Евклида. Диофантовы уравнения - математика в школе.Что такое «решение задач подбором», и можно ли их решать иначе?

По отзывам сибмам, настоящим камнем преткновения в школьном курсе математики не только для учеников, но и для родителей становятся диофантовы уравнения. Что это такое и как их правильно решать? Разобраться нам помогли учитель математики образовательного центра «Горностай» Аэлита Бекешева и кандидат физико-математических наук Юрий Шанько.

 

Кто такой Диофант?

Еще древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначавшее неизвестное число, но в то время не было еще знаков действий и знака равенства, поэтому и записывать уравнения они не умели.

Первым, кто придумал, как можно записать уравнение, был замечательный ученый Диофант Александрийский. Александрия была большим культурным, торговым и научным центром древнего мира. Этот город существует и сейчас, он находится на Средиземноморском побережье Египта.

Жил Диофант, по-видимому, в III веке н.э. и был последним великим математиком античности. До нас дошли два его сочинения — «Арифметика» (из тринадцати книг сохранилось шесть) и «О многоугольных числах» (в отрывках). Творчество Диофанта оказало большое влияние на развитие алгебры, математического анализа и теории чисел.

 

А ведь вы знаете кое-что о диофантовых уравнениях…

Диофантовы уравнения знают все! Это задачки для учеников младших классов, которые решаются подбором.

Например, «сколькими различными способами можно расплатиться за мороженое ценой 96 копеек, если у вас есть только копейки и пятикопеечные монеты?»

Если дать диофантовому уравнению общее определение, то можно сказать, что это алгебраическое уравнение с дополнительным условием: все его решения должны быть целыми числами (а в общем случае и рациональными).

Зачастую мамы (особенно те, кто окончил школу еще при развитом социализме) полагают, что основная цель таких задач – научить детей расплачиваться мелочью за мороженое. И вот, когда они искренне убеждены, что раскладывание мелочи кучками осталось далеко в прошлом, их любимый семиклассник (или восьмиклассник) подходит с неожиданным вопросом: «Мама, как это решать?», и предъявляет уравнение с двумя переменными. Раньше таких задачек в школьном курсе не было (все мы помним, что уравнений должно быть столько же, сколько и переменных), так что мама не-математик нередко впадает в ступор. А ведь это та же самая задача про мелочь и мороженое, только записанная в общем виде!

Кстати, а зачем к ней вдруг возвращаются в седьмом классе? Все просто: цель изучения диофантовых уравнения – дать основы теории целых чисел, которая дальше развивается как в математике, так и в информатике и программировании. Диофантовы уравнения часто встречаются среди задач части «С» единого госэкзамена. Трудность, прежде всего в том, что существует множество методов решения, из которых выпускник должен выбрать один верный. Тем не менее, линейные диофантовы уравнения ax + by = c могут быть решены относительно легко с помощью специальных алгоритмов.

 

Алгоритмы для решения диофантовых уравнений

- Изучение диофантовых уравнения начинается в углубленном курсе алгебры с 7 класса. В учебнике Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка приводятся некоторые задачи и уравнения, которые решают с использованием алгоритма Евклида и метода перебора по остаткам, - рассказывает Аэлита Бекешева. - Позже, в 8 – 9 классе, когда уже рассматриваем уравнения в целых числах более высоких порядков, показываем ученикам метод разложения на множители, и дальнейший анализ решения этого уравнения, оценочный метод. Знакомим с методом выделения полного квадрата. При изучении свойств  простых чисел знакомим с малой теоремой Ферма, одной из основополагающих теорем в теории решений уравнений в целых числах. На более высоком уровне это знакомство продолжается в 10 – 11 классах. В это же время мы подводим ребят к изучению и применению теории «сравнений по модулю», отрабатываем алгоритмы, с которыми знакомились в 7 – 9 классах. Очень хорошо это материал прописан в учебнике А.Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа, 10 класс» и Г.В. Дорофеева «Математика» за 10 класс.

 

Алгоритм Евклида

Сам метод Евклида относится к другой математической задаче – нахождению наибольшего общего делителя: вместо исходной пары чисел записывают новую пару – меньшее число и разность между меньшим и большим числом исходной пары. Это действие продолжают до тех пор, пока числа в паре не уравняются – это и будет наибольший общий множитель. Разновидность алгоритма используется и при решении диофантовых уравнений - сейчас мы вместе с Юрием Шанько покажем на примере, как решать задачи "про монетки".

- Рассматриваем линейное диофантово уравнение ax + by = c, где a, b, c, x и y — целые числа. Как видите, одно уравнение содержит две переменных. Но, как вы помните, нам нужны только целые корни, что упрощает дело - пары чисел, при которых уравнение верно, можно найти.

Впрочем, диофантовы уравнения не всегда имеют решения. Пример: 4x + 14y = 5. Решений нет, т.к. в левой части уравнения при любых целых x и y будет получаться четное число, а 5 — число нечетное. Этот пример можно обобщить. Если в уравнении ax + by = c коэффициенты a и b делятся на какое-то целое d, а число c на это d не делится, то уравнение не имеет решений. С другой стороны, если все коэффициенты (a, b и c) делятся на d, то на это d можно поделить все уравнение.

Например, в уравнении 4x + 14y = 8 все коэффициенты делятся на 2. Делим уравнение на это число и получаем: 2𝑥 + 7𝑦 = 4. Этот прием (деления уравнения на какое-то число) позволяет иногда упростить вычисления.

Зайдем теперь с другой стороны. Предположим, что один из коэффициентов в левой части уравнения (a или b) равен 1. Тогда наше уравнение уже фактически решено. Действительно, пусть, например, a = 1, тогда мы можем в качестве y взять любое целое число, при этом x = c − by. Если научиться сводить исходное уравнение к уравнению, в котором один из коэффициентов равен 1, то мы научимся решать любое линейное диофантово уравнение!

Я покажу это на примере уравнения 2x + 7y = 4.

Его можно переписать в следующем виде: 2(x + 3y) + y = 4.

Введем новую неизвестную z = x + 3y, тогда уравнение запишется так: 2z + y = 4.

Мы получили уравнение с коэффициентом один! Тогда z — любое число, y = 4 − 2z.

Осталось найти x: x = z − 3y = z − 3(4 − 2z) = 7z − 12.

Пусть z=1. Тогда y=2, x=-5. 2*(-5)+7*2=4

Пусть z=5. Тогда y=-6, x=23. 2*(23)+7*(-6)=4

” В этом примере важно понять, как мы перешли от уравнения с коэффициентами 2 и 7 к уравнению с коэффициентами 2 и 1. В данном случае (и всегда!) новый коэффициент (в данном случае - единица) это остаток от деления исходных коэффициентов друг на друга  (7 на 2).

В этом примере нам повезло, мы сразу после первой замены получили уравнение с коэффициентом 1. Такое бывает не всегда, но и мы можем повторять предыдущий трюк, вводя новые неизвестные и выписывая новые уравнения. Рано или поздно после таких замен получится уравнение с коэффициентом 1.

 

Давайте попрообуем решить более сложное уравнение, предлагает Аэлита Бекешева.

Рассмотрим уравнение 13x - 36y = 2. 

Шаг №1

36/13=2 (10 в остатке). Таким образом, исходное уравнение можно переписать следующим образом: 13x-13*2y-10y=2.  Преобразуем его: 13(x-2y)-10y=2. Введем новую переменную z=x-2y. Теперь мы получили уравнение: 13z-10y=2.

Шаг №2

13/10=1 (3 в остатке). Исходное уравнение 13z-10y=2 можно переписать следующим образом: 10z-10y+3z=2.  Преобразуем его: 10(z-y)+3z=2. Введем новую переменную m=z-y. Теперь мы получили уравнение: 10m+3z=2. 

Шаг №3

10/3=3 (1 в остатке). Исходное уравнение 10m+3z=2 можно переписать следующим образом: 3*3m+3z+1m=2.  Преобразуем его: 3(3m+z)+1m=2. Введем новую переменную n=3m+z. Теперь мы получили уравнение: 3n+1m=2. 

Ура! Мы получили уравнение с коэффициентом единица!

m=2-3n, причем n может быть любым числом. Однако нам нужно найти x и y. Проведем замену переменных в обратном порядке. Помните, мы должны выразить x и y через n, которое может быть любым числом.

y=z-m; z=n-3m, m=2-3n ⇒ z=n-3*(2-3n), y=n-3*(2-3n)-(2-3n)=13n-8; y=13n-8 

x=2y+z  ⇒ x=2(13n-8)+(n-3*(2-3n))=36n-22; x=36n-22

Пусть n=1. Тогда y=5, x=24. 13*(14)-36*5=2

Пусть n=5. Тогда y=57, x=158. 13*(158)-36*(57)=2

Да, разобраться не очень просто, зато теперь вы всегда сможете решить в общем виде задачи, которые решаются подбором!

 

Решаем задачи на подбор чисел

Примеры задач для учеников младших классов, которые решаются подбором: посоревнуйтесь с ребенком, кто решит их быстрее: вы, используя алгорит Евклида, или школьник - подбором?

Задача про лапы

Условия

В клетке сидят куры и кролики. Всего у них 20 лап. Сколько там может  быть кур, а сколько - кроликов?

Решение

Пусть у нас будет x кур и y  кроликов. Составим уравнение: 2х+4y=20. Сократим обе части уравнения на два: x+2y=10. Следовательно, x=10-2y, где x и y - это целые положительные числа. 

Ответ

Число кроликов и куриц: (1; 8), (2; 6), (3; 4), (4; 2), (5; 0)

Согласитесь, получилось быстрее, чем перебирать «пусть в клетке сидит один кролик...»

 

Задача про монетки

Условия

У одной продавщицы были только пяти- и двухрублевые монетки. Сколькими способами она может набрать 57 рублей сдачи?

Решение

Пусть у нас будет x двухрублевых и y  пятирублевых монеток. Составим уравнение: 2х+5y=57. Преобразуем уравнение: 2(x+2y)+y=57. Пусть z=x+2y. Тогда 2z+y=57. Следовательно, y=57-2z, x=z-2y=z-2(57-2z) ⇒ x=5z-114. Обратите внимание, переменная z не может быть меньше 23 (иначе x, число двухрублевых монеток, будет отрицательным) и больше 28 (иначе y, число пятирублевых монеток, будет отрицательным). Все значения от 23 до 28 нам подходят.

Ответ

Шестью способами.

20.01.2017
Подготовила Татьяна Яковлева
   Добавить ВКонтакте заметку об этой странице Опубликовать в Twitter Опубликовать в Facebook Опубликовать в ЖЖ Опубликовать в Одноклассниках Сохранить в Pinterest


   Обсуждение на форуме ("связанная" тема)
Какая хорошая статья. Спасибо.
Сейчас много общаюсь с детьми, стала замечать как все грустно даже с устной речью. Познакомилась с русским мальчиком, который детство провел во Франции. Не в пример лучше образован и совершенно иной уровень владения русским языком. Не в пользу соотечественников, увы. Школа и эмигрантская среда бывших русских аристократов дают прекрасное образование. Снимала шляпу перед ними.
_ _ _
Одна из задач на ближайшее время. Стихи и пересказ. И денег/сил особых не требует, и старания не пройдут даром.
Ольга Вуаля (22/09/2017)
Так это диофантовы уравнения! Именно они у меня напрочь стерлись из школьного курса.
Отмечу тему)
burya (14/09/2017)
Пересказ – один из важнейших навыков обучения. Некоторые родители безосновательно считают, что он используется исключительно в младших классах, и можно «проскочить» через этот этап работы с текстом. На самом деле пересказ – это основа для сочинения – допуска к Единому госэкзамену, для всех школьных рефератов и студенческих конспектов.

Поскольку учиться пересказывать нужно еще до школы, важно, чтобы родители уделили этому серьезное внимание.

Как научить ребенка пересказывать текст, и почему это важно

Lyudmila1988 (21/08/2017)
У нас и в подготовишке такие родители были, что охали, как тяжело.
Я лукавить не буду, в самом начале посидела с ребенком несколько раз.
Далее - сама, только проверяла. Ну и читала она нам в слух.

Посмотрим, что будет в школе. А то, может, рано радуюсь :haha:
NatalySunny (02/03/2017)
Марина&Аленочка
Спасибо, прям обнадежили. А то только и читаю везде сейчас как детям в школе тяжело и что родители до ночи с детьми сидят за уроками.
NatalySunny
И тогда и сейчас были и есть детки, которые учатся самостоятельно и делают уроки сами.
Есть такие, которым помощь действительно необходима. И это не обязательно от того, что "о как грузят сейчас в школах" :o
Зависит от многих факторов. И от мотивации на учебу, и вообще от степени обучаемости ребенка, и от физического состояния, и от психологического. Много от чего :aga-aga:
NatalySunny (01/03/2017)
Как страшно жить... Когда я сама училась в школе мне ВООБЩЕ не требовались родители для выполнения домашних заданий и в принципе для учебы. Где те прекрасные добрые времена? С ужасом жду, когда мои дети пойдут в школу...
burya (24/02/2017)
Уже в расписании второклассников появляется два урока иностранного языка, а многие дети попадают в языковые школы и того раньше. Часто они остаются один на один с непонятными словами и буквами, ведь их папы и мамы либо забыли, либо изучали в школе другой язык. Однако и в этом случае у родителей есть возможность помочь ребенку.

Несколько простых практических советов от учительниц иностранных языков, которые подойдут абсолютно всем мамам!

Как помочь ребенку учить иностранный язык, особенно если сам его не знаешь…

Morskaya udacha (20/01/2017)
Здорово :aga-aga:
Инга2007 (20/01/2017)
burya
Спасибо, очень интересно! :-)
burya (20/01/2017)
"У одной продавщицы были только пяти- и двухрублевые монетки. Сколькими способами он может набрать 57 рублей сдачи?"

Признайтесь, ваши дети подходили к вам с этими странными задачками, которые нужно решать перебором всех возможных вариантов? А ведь это диофантовы уравнения, с которых начинается изучение основ теории чисел! Мы научим вас решать их быстро и просто!

Кстати, продавщица может набрать сдачу шестью способами ;)

Диофантовы уравнения. Что такое «решение задач подбором», и можно ли их решать иначе?

Sweety (20/01/2016)
Хорошая статья.

Я бы добавила еще, что писать нужно да, реферат (который желательно прошить в скоросшивателе) и отдельно "текст защиты", на 2-3 страницы, который будет пересекаться со слайдами., что бы в процессе речи, были нужны слайды. Их можно листать., а можно выучить эти 2 листа текста, записать на какой секунде должен идти следующий слайд и сделать автоматически настройку.
Далее, по списку литературы не совсем актуально приведено. Сейчас ГОСТы немного шире. Указывается еще издательство и общее количество страниц., например
Иванов А.А. Что мы едим? - М.: Прогресс, 2015.- 673с.
или если это журнал
Иванов А.А. Что мы едим? // Наука и жизнь.- 2015.- №5.-С.17-18.
Вот только заваливают настоящее исследование, с анкетированием, с соцопросом - обидно. В следующем году, даже участвовать не будем. Почему научная работа, хоть и мизерная получает меньше, чем скачанный из интернета текст про дельфинов. Я, имея опыт руководства курсовыми работами, старалась с ребенком сделать действительно актуальную маленькую научную работу, с изюминкой. Срезали балы, не удивлюсь, если сделают аналог в следующем году в своем классе.
KisaL (30/10/2015)
Когда родители могут ознакомиться с портфелем достижений ребенка?
В любое время, когда захотят. Учитель обычно поднимает этот вопрос на родительском собрании. При желании можно просто прийти в класс и попросить педагога выдать портфель достижений ребенка, чтобы прочитать и изучить его детально.

Воодушевляет эта фраза.
Но портфолио - нужно точно не родителям, и не ученикам.
1 | 2   

Ваш комментарий

Текст:
Автор:
 
  Для получения уведомлений об ответах необходимо представиться или зарегистирироваться