2 3 |
/О детях/Школа/Репетитор для мамы
Диофантовы уравненияЧто такое «решение задач подбором», и можно ли их решать иначе?
По отзывам сибмам, настоящим камнем преткновения в школьном курсе математики не только для учеников, но и для родителей становятся диофантовы уравнения. Что это такое и как их правильно решать? Разобраться нам помогли учитель математики образовательного центра «Горностай» Аэлита Бекешева и кандидат физико-математических наук Юрий Шанько.
Кто такой Диофант?Еще древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначавшее неизвестное число, но в то время не было еще знаков действий и знака равенства, поэтому и записывать уравнения они не умели. Первым, кто придумал, как можно записать уравнение, был замечательный ученый Диофант Александрийский. Александрия была большим культурным, торговым и научным центром древнего мира. Этот город существует и сейчас, он находится на Средиземноморском побережье Египта. Жил Диофант, по-видимому, в III веке н.э. и был последним великим математиком античности. До нас дошли два его сочинения — «Арифметика» (из тринадцати книг сохранилось шесть) и «О многоугольных числах» (в отрывках). Творчество Диофанта оказало большое влияние на развитие алгебры, математического анализа и теории чисел.
А ведь вы знаете кое-что о диофантовых уравнениях…Диофантовы уравнения знают все! Это задачки для учеников младших классов, которые решаются подбором.
Если дать диофантовому уравнению общее определение, то можно сказать, что это алгебраическое уравнение с дополнительным условием: все его решения должны быть целыми числами (а в общем случае и рациональными).
Кстати, а зачем к ней вдруг возвращаются в седьмом классе? Все просто: цель изучения диофантовых уравнения – дать основы теории целых чисел, которая дальше развивается как в математике, так и в информатике и программировании. Диофантовы уравнения часто встречаются среди задач части «С» единого госэкзамена. Трудность, прежде всего в том, что существует множество методов решения, из которых выпускник должен выбрать один верный. Тем не менее, линейные диофантовы уравнения ax + by = c могут быть решены относительно легко с помощью специальных алгоритмов.
Алгоритмы для решения диофантовых уравнений- Изучение диофантовых уравнения начинается в углубленном курсе алгебры с 7 класса. В учебнике Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка приводятся некоторые задачи и уравнения, которые решают с использованием алгоритма Евклида и метода перебора по остаткам, - рассказывает Аэлита Бекешева. - Позже, в 8 – 9 классе, когда уже рассматриваем уравнения в целых числах более высоких порядков, показываем ученикам метод разложения на множители, и дальнейший анализ решения этого уравнения, оценочный метод. Знакомим с методом выделения полного квадрата. При изучении свойств простых чисел знакомим с малой теоремой Ферма, одной из основополагающих теорем в теории решений уравнений в целых числах. На более высоком уровне это знакомство продолжается в 10 – 11 классах. В это же время мы подводим ребят к изучению и применению теории «сравнений по модулю», отрабатываем алгоритмы, с которыми знакомились в 7 – 9 классах. Очень хорошо это материал прописан в учебнике А.Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа, 10 класс» и Г.В. Дорофеева «Математика» за 10 класс.
Алгоритм ЕвклидаСам метод Евклида относится к другой математической задаче – нахождению наибольшего общего делителя: вместо исходной пары чисел записывают новую пару – меньшее число и разность между меньшим и большим числом исходной пары. Это действие продолжают до тех пор, пока числа в паре не уравняются – это и будет наибольший общий делитель. Разновидность алгоритма используется и при решении диофантовых уравнений - сейчас мы вместе с Юрием Шанько покажем на примере, как решать задачи "про монетки". - Рассматриваем линейное диофантово уравнение ax + by = c, где a, b, c, x и y — целые числа. Как видите, одно уравнение содержит две переменных. Но, как вы помните, нам нужны только целые корни, что упрощает дело - пары чисел, при которых уравнение верно, можно найти. Впрочем, диофантовы уравнения не всегда имеют решения. Пример: 4x + 14y = 5. Решений нет, т.к. в левой части уравнения при любых целых x и y будет получаться четное число, а 5 — число нечетное. Этот пример можно обобщить. Если в уравнении ax + by = c коэффициенты a и b делятся на какое-то целое d, а число c на это d не делится, то уравнение не имеет решений. С другой стороны, если все коэффициенты (a, b и c) делятся на d, то на это d можно поделить все уравнение. Например, в уравнении 4x + 14y = 8 все коэффициенты делятся на 2. Делим уравнение на это число и получаем: 2𝑥 + 7𝑦 = 4. Этот прием (деления уравнения на какое-то число) позволяет иногда упростить вычисления. Зайдем теперь с другой стороны. Предположим, что один из коэффициентов в левой части уравнения (a или b) равен 1. Тогда наше уравнение уже фактически решено. Действительно, пусть, например, a = 1, тогда мы можем в качестве y взять любое целое число, при этом x = c − by. Если научиться сводить исходное уравнение к уравнению, в котором один из коэффициентов равен 1, то мы научимся решать любое линейное диофантово уравнение! Я покажу это на примере уравнения 2x + 7y = 4.Его можно переписать в следующем виде: 2(x + 3y) + y = 4. Введем новую неизвестную z = x + 3y, тогда уравнение запишется так: 2z + y = 4. Мы получили уравнение с коэффициентом один! Тогда z — любое число, y = 4 − 2z. Осталось найти x: x = z − 3y = z − 3(4 − 2z) = 7z − 12. Пусть z=1. Тогда y=2, x=-5. 2*(-5)+7*2=4 Пусть z=5. Тогда y=-6, x=23. 2*(23)+7*(-6)=4
В этом примере нам повезло, мы сразу после первой замены получили уравнение с коэффициентом 1. Такое бывает не всегда, но и мы можем повторять предыдущий трюк, вводя новые неизвестные и выписывая новые уравнения. Рано или поздно после таких замен получится уравнение с коэффициентом 1.
Давайте попрообуем решить более сложное уравнение, предлагает Аэлита Бекешева. Рассмотрим уравнение 13x - 36y = 2.Шаг №1 36/13=2 (10 в остатке). Таким образом, исходное уравнение можно переписать следующим образом: 13x-13*2y-10y=2. Преобразуем его: 13(x-2y)-10y=2. Введем новую переменную z=x-2y. Теперь мы получили уравнение: 13z-10y=2. Шаг №2 13/10=1 (3 в остатке). Исходное уравнение 13z-10y=2 можно переписать следующим образом: 10z-10y+3z=2. Преобразуем его: 10(z-y)+3z=2. Введем новую переменную m=z-y. Теперь мы получили уравнение: 10m+3z=2. Шаг №3 10/3=3 (1 в остатке). Исходное уравнение 10m+3z=2 можно переписать следующим образом: 3*3m+3z+1m=2. Преобразуем его: 3(3m+z)+1m=2. Введем новую переменную n=3m+z. Теперь мы получили уравнение: 3n+1m=2. Ура! Мы получили уравнение с коэффициентом единица! m=2-3n, причем n может быть любым числом. Однако нам нужно найти x и y. Проведем замену переменных в обратном порядке. Помните, мы должны выразить x и y через n, которое может быть любым числом. y=z-m; z=n-3m, m=2-3n ⇒ z=n-3*(2-3n), y=n-3*(2-3n)-(2-3n)=13n-8; y=13n-8 x=2y+z ⇒ x=2(13n-8)+(n-3*(2-3n))=36n-22; x=36n-22 Пусть n=1. Тогда y=5, x=14. 13*(14)-36*5=2 Пусть n=5. Тогда y=57, x=158. 13*(158)-36*(57)=2 Да, разобраться не очень просто, зато теперь вы всегда сможете решить в общем виде задачи, которые решаются подбором!
Решаем задачи на подбор чиселПримеры задач для учеников младших классов, которые решаются подбором: посоревнуйтесь с ребенком, кто решит их быстрее: вы, используя алгорит Евклида, или школьник - подбором? Задача про лапыУсловия В клетке сидят куры и кролики. Всего у них 20 лап. Сколько там может быть кур, а сколько - кроликов? Решение Пусть у нас будет x кур и y кроликов. Составим уравнение: 2х+4y=20. Сократим обе части уравнения на два: x+2y=10. Следовательно, x=10-2y, где x и y - это целые положительные числа. Ответ Число кроликов и куриц: (1; 8), (2; 6), (3; 4), (4; 2), (5; 0) Согласитесь, получилось быстрее, чем перебирать «пусть в клетке сидит один кролик...»
Задача про монеткиУсловия У одной продавщицы были только пяти- и двухрублевые монетки. Сколькими способами она может набрать 57 рублей сдачи? Решение Пусть у нас будет x двухрублевых и y пятирублевых монеток. Составим уравнение: 2х+5y=57. Преобразуем уравнение: 2(x+2y)+y=57. Пусть z=x+2y. Тогда 2z+y=57. Следовательно, y=57-2z, x=z-2y=z-2(57-2z) ⇒ x=5z-114. Обратите внимание, переменная z не может быть меньше 23 (иначе x, число двухрублевых монеток, будет отрицательным) и больше 28 (иначе y, число пятирублевых монеток, будет отрицательным). Все значения от 23 до 28 нам подходят. Ответ Шестью способами. 20.01.2017
Подготовила Татьяна Яковлева
Обсуждение на форуме ("связанная" тема)
Как тяжело меня
Задача про лапы решена не верно. ОДЗ - куры>=2, кролики >=2. Если бы в условии задачи было бы написано, скажем так, в клетке сидит некоторое количество кур и кроликов, то вариантов было бы пять. А так как в клетке сидят курЫ и кроликИ, то каждого вида живности по любому больше одного. ИМХО
Очень интересно, отмечусь.
Возможно здесь ошибка: "Это действие продолжают до тех пор, пока числа в паре не уравняются – это и будет наибольший общий множитель."
Должно быть: "... делитель" Гость, спасибо за внимательность! опечатка исправлена Здесь ошибка: "Пусть n=1. Тогда y=5, x=24. 13*(14)-36*5=2" должно быть x = 14. Какая хорошая статья. Спасибо. Сейчас много общаюсь с детьми, стала замечать как все грустно даже с устной речью. Познакомилась с русским мальчиком, который детство провел во Франции. Не в пример лучше образован и совершенно иной уровень владения русским языком. Не в пользу соотечественников, увы. Школа и эмигрантская среда бывших русских аристократов дают прекрасное образование. Снимала шляпу перед ними. _ _ _ Одна из задач на ближайшее время. Стихи и пересказ. И денег/сил особых не требует, и старания не пройдут даром. Так это диофантовы уравнения! Именно они у меня напрочь стерлись из школьного курса. Отмечу тему) Пересказ – один из важнейших навыков обучения. Некоторые родители безосновательно считают, что он используется исключительно в младших классах, и можно «проскочить» через этот этап работы с текстом. На самом деле пересказ – это основа для сочинения – допуска к Единому госэкзамену, для всех школьных рефератов и студенческих конспектов. Поскольку учиться пересказывать нужно еще до школы, важно, чтобы родители уделили этому серьезное внимание. Как научить ребенка пересказывать текст, и почему это важно У нас и в подготовишке такие родители были, что охали, как тяжело. Я лукавить не буду, в самом начале посидела с ребенком несколько раз. Далее - сама, только проверяла. Ну и читала она нам в слух. Посмотрим, что будет в школе. А то, может, рано радуюсь Марина&Аленочка Спасибо, прям обнадежили. А то только и читаю везде сейчас как детям в школе тяжело и что родители до ночи с детьми сидят за уроками. NatalySunny И тогда и сейчас были и есть детки, которые учатся самостоятельно и делают уроки сами. Есть такие, которым помощь действительно необходима. И это не обязательно от того, что "о как грузят сейчас в школах" Зависит от многих факторов. И от мотивации на учебу, и вообще от степени обучаемости ребенка, и от физического состояния, и от психологического. Много от чего Как страшно жить... Когда я сама училась в школе мне ВООБЩЕ не требовались родители для выполнения домашних заданий и в принципе для учебы. Где те прекрасные добрые времена? С ужасом жду, когда мои дети пойдут в школу... Уже в расписании второклассников появляется два урока иностранного языка, а многие дети попадают в языковые школы и того раньше. Часто они остаются один на один с непонятными словами и буквами, ведь их папы и мамы либо забыли, либо изучали в школе другой язык. Однако и в этом случае у родителей есть возможность помочь ребенку. Несколько простых практических советов от учительниц иностранных языков, которые подойдут абсолютно всем мамам! Как помочь ребенку учить иностранный язык, особенно если сам его не знаешь… |
Актуальные темы форумов
⚜️Vogue Alhambra ⚜️ новинки 2024 +💥 Grandeur FW💥 (Парфюмерные распивы)Mandarino ,Arancia Rossa Laboratorio Olfattivo (Парфюмерные распивы)Литературный флешмоб по рассказам № 11 (Культурная жизнь)Guidance 46 Amouage (Парфюмерные распивы)Какой фильм стоит посмотреть. Том 6 (Культурная жизнь)О чем бы еще поныть...))) Том 21 (Обо всем)Читательский квест - 2024. Прием заявок закрыт. (Культурная жизнь)Играем в Тайного Деда Мороза! (🎄 Новый год!!! Все о подготовке к Новому году 2025!)Начни со среднего слога (Развлечения. Юмор, анекдоты. Игры, задачки и тесты)АКУ научная библиотека им.В.Шишкова (Культурная жизнь в Барнауле для взрослых и детей)
Объявления
Продам пальто, плащ - 42 р (Одежда для взрослых (ДО))Книги и нужности - ул. Народная или Рцр (Детские товары (ДО) в Новосибирске)Одежда для мальчика - 86-122 см - район Учительской или рцр (Одежда для дошкольников (от 86 до 121 см))Обувь для дюймовочки - 34-35 размеры (Обувь для взрослых (ДО))Продам обувь для мальчика - 25-30 размер (Обувь для малышей и дошколят (до 30 размера) (ДО))Кроссовки, ботинки, шлепки 31-34 размер для мальчика (Детская обувь от 31 до 36 размера (ДО))Новые брюки и тонковка Futurino для мальчика - рост 122-134 см (Детская одежда на рост от 122 до 151 см)Продам тунику и кофты для беременных, 40-42 размер (Товары для беременных и кормящих (ДО))Одежда для малыша - ул. Народная или Рцр (Одежда для малышей до года (до 85 см))Большая Распродажа Всячины, много новых книг (Товары для дома и семьи. (ДО))
Увидели ошибку?
выделите фрагмент текста мышкой и нажмите "ctrl+enter"
ошибки в отзывах пользователей не исправляются |